Анатолий Ведерников родился 3 мая 1920 года. Обучался игре на фортепиано с 6 лет. В 1930 году начал исполнительскую карьеру. Выступал с гастролями в Китае и Японии, затем вернулся в Россию. С 1936 года учился в Московской консерватории (класс Г. Г. Нейгауза). В конце 1930-х годов родители Ведерникова стали жертвами сталинских репрессий: отца расстреляли, а мать осудили на 8 лет.

В 1942 году стал солистом Москонцерта.  Ведерников был другом С. Т. Рихтера, в 1940–1950-х годах у них было несколько совместных выступлений. Ведерников исполнял фортепианные произведения многих современных композиторов. Он стал первым в Советском Союзе исполнителем Четвёртого концерта для фортепиано с оркестром С. С. Прокофьева. Ведерников сотрудничал с Д. Д. Шостаковичем, он впервые исполнил его 1-ю и 24-ю прелюдии и фуги. Среди других произведений, впервые исполненных Ведерниковым: Первый концерт Галынина, Первая соната Сидельникова, Вторая соната Уствольской, Сонатина Фрида, Вариации на тему Баха Разорёнова, Lento-вариации Каретникова. Он первым в СССР исполнил ряд зарубежных фортепианных произведений, среди которых: «Ludus tonalis» Хиндемита, Концерт для фортепиано с оркестром Шёнберга, Третий концерт для фортепиано с оркестром Владигерова, Шесть пьес Кшенека.

С 1963 года выступал с гастролями в социалистических странах, в 1980 году концертировал в Италии и Шотландии, затем в Финляндии и ФРГ. В 1958 году Ведерников стал преподавателем в Музыкально-педагогическом институте имени Гнесиных (с 1963 доцент). С 1980 года преподавал в Московской консерватории (с 1985 профессор). В 1983 году Ведерников получил звание «Заслуженный артист РСФСР».

Скончался 29 июля 1993 года после продолжительной болезни.